Lineer Cebir vizesi: Prof. Koçak'ın çözdüğü şekilde

1–7. haftalar yaklaşık 3 saatte: hoca ne soruyor, hangi adımları görmek istiyor ve hangi hatalar puan götürüyor.

−2R₁ + R₂ → R₂

−2R₁: 1. satırı −2 ile çarp (1. satırın kendisi olduğu gibi kalır)
+ R₂: buna 2. satırı ekle
→ R₂: sonucu 2. satırın yerine yaz

Sınavındaki her 40 puanlık soru, bunun gibi satırlardan oluşan bir zincirdir. Her birini bu biçimde yaz.

1Sınav nasıl görünüyor

Yaklaşık 5 dakika

Dosyalarda Prof. Koçak'ın dört eski sınav kâğıdı var. Hepsi aynı yapıda. 2024–25 kâğıdında süre 50 dakika yazıyor.

2022–23Vektörler: cos θ, iç çarpım ne zaman sıfır olur, uzaklık (20 puan)3×3 sistemi Gauss–Jordan ile çöz (40)4×4 bir matrisin A = L·D·U ayrışımı (40)

Daha eski, yılı belli olmayan kâğıtVektörler: aynı üç şık (20)4×4 sistemi faktorizasyonla çöz (30)x = A⁻¹b; ters matris Gauss–Jordan ile bulunacak (25)

2024–25Vektörler: cos θ, iç çarpım, uzaklık, birim vektör (20)3×3 sistemi faktorizasyonla çöz (40)3×3 sistemi ters matris yöntemiyle çöz (40)

2025–26Dik (ortogonal) vektörler (a'yı bul), uzunluk3×3 bir matrisin A = L·D·U ayrışımıGauss eliminasyonu, Gauss–Jordan ile ters matris, A = L·U ile çözüm

Yani: yaklaşık 20 puanlık kolay bir vektör sorusu, sonra da 80 puan. Bu 80 puan, aslında farklı ambalajlardaki aynı satır işlemleri olan üç araçtan geliyor.

Eliminasyon (Gauss, Gauss–Jordan): bölüm 4 ve 5
Ters matris: bölüm 6 ve 7
Faktorizasyon (L·U ve L·D·U): bölüm 8–11

Bu yılın tekrar (review) kâğıdı tam olarak bunları soruyor; "vektör uzayları ve alt uzaylar" konusundan hiçbir şey yok.

3 saati nasıl kullanmalıHer çözümlü örneği elinde kalemle oku ve bir sonrakine geçmeden önce kâğıda yeniden çöz. Sonra "Sen dene" sorusunu yap, çözümü ancak ondan sonra aç. Yazmadan sadece okumak sınavda işe yaramaz.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

2Hocanın yöntemi: yedi kural

Yaklaşık 5 dakika

Bunlar doğrudan hocanın slaytlarının yazılış biçiminden geliyor. Her soruda bunlara uy.

Soruda adı geçen yöntemi kullan. Başka yöntemle bulunan doğru cevap, 40 puanı kaybetmenin klasik yoludur.
- "Gauss elimination" (Gauss eliminasyonu): genişletilmiş matrisi üst üçgene getir, sonra en alttaki denklemden yukarı doğru çöz.
- "Gauss–Jordan": genişletilmiş matrisi birim matrise kadar götür.
- "Inverse matrix" (ters matris): A⁻¹ matrisini [A ⋮ I] ile bul, sonra X = A⁻¹·B.
- "Factorization" (faktorizasyon): L ve U'yu bul, sonra iki üçgen sistemi çöz.
Her satır işlemini hocanın biçiminde, okun yanına yaz: kR_i + R_j → R_j. Oktan sonraki satır, değişen satırdır. "R₂ − 2R₁" ya da "R₂ ← …" yazma.
Pivot satırı bir işlemde asla değişmez. Onu çarparsın, başka bir satıra eklersin ve yalnızca o diğer satır yeniden yazılır.
3×3 için kısa yol formülü yok. Determinant ve kofaktörle ters alma yok, Cramer kuralı yok. Hoca [A ⋮ I] yöntemini öğretti ve onu puanlıyor.
Ters matris yönteminde ve faktorizasyonda, slaytlarındaki gibi "Step 1" ve "Step 2" (Adım 1, Adım 2) yaz.
Kesirleri kesir olarak bırak (4/5, 12/5), asla ondalık yazma. Kökler kök olarak kalır: slaytlarında 1/√30 olduğu gibi bırakılıyor.
Tek ve net bir cevap satırıyla bitir: x = …, y = …, z = ….

Kâğıttaki düzenSınav kâğıdında matrisleri slaytlardaki gibi soldan sağa, işlemi okun üstüne yazarak diz. Bu rehberde yalnızca telefon ekranına sığsın diye yukarıdan aşağıya dizildiler. Kırmızı yazı, okun üstüne yazılan şeydir.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

3Vektörler

Yaklaşık 25 dakika

1. hafta. Bunlar kolay 20 puan. Her eski sınav aynı şeyleri soruyor, o yüzden aşağıdaki altı satırı ezberle.

İç çarpım (bir sayıdır)u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

Norm, yani uzunluk‖u‖ = √(u₁² + u₂² + … + u_n²)

İki vektör arasındaki açıCosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖)

Uzaklıkd(u, v) = √((u₁−v₁)² + … + (u_n−v_n)²)Önce çıkar, sonra karesini al, topla, kökünü al. Bu "2-norm"dur ve soru sadece "distance" (uzaklık) dediğinde kullanılacak olan budur.

Dik (ortogonal, perpendicular)u·v = 0Cosθ = 0, θ = 90° ile aynı şey.

Birim vektör (unit vector)‖v‖ = 1 değilse: v̂ = v / ‖v‖Uzunluğa bölmeye normalleştirme (normalizing) denir. Hoca v̂ için "the unique unit vector" (tek birim vektör) diyor.

u = (2, −1, 2) ve v = (1, 2, 2) için: Cosθ'yı ve uzaklığı bul, u'nun birim vektör olup olmadığını kontrol et.Klasik 1. soru, yeni sayılarla

a) Cosθ

u·v = 2·1 + (−1)·2 + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4

‖u‖ = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3

‖v‖ = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3

Cosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖) = 4 / (3·3) = 4/9

b) Uzaklık

d(u, v) = √((2−1)² + (−1−2)² + (2−2)²)

= √(1 + 9 + 0) = √10

c) Birim vektör mü?

‖u‖ = 3 ≠ 1, yani u birim vektör değil

û = u / ‖u‖ = (2/3, −1/3, 2/3)

Yukarıdaki gibi önce formülü, sonra sayıları, sonra sonucu yaz. Kökler sadeleşmiyorsa öyle bırak: Cosθ = 19 / (√26·√74) bitmiş bir cevaptır.

u = (k, 2, −1) ve v = (3, −4, 1) birbirine dik. k'yı bul.

dik ⟹ u·v = 0

3k + 2·(−4) + (−1)·1 = 0

3k − 9 = 0 ⟹ k = 3

p-norm uzaklığı

Hocanın slaytı bütün bir uzaklık ailesi tanımlıyor. Değişen tek şey üs.

p-norm uzaklığıd(x, y) = (|x₁−y₁|^p + … + |x_n−y_n|^p)^1/p 1.norm: mutlak farkları doğrudan topla (Taxicab ya da Manhattan denir). 2.norm: yukarıdaki normal uzaklık. 3.norm: mutlak farkların küpünü al, topla, küp kökünü al.

x = (3, 1) ve y = (5, 2). 1.norm ve 2.norm için uzaklık.Hocanın slayt örneği

1.norm: d(x, y) = |3−5| + |1−2| = 2 + 1 = 3

2.norm: d(x, y) = √((3−5)² + (1−2)²) = √(4+1) = √5

v = (1, −3, 4, 2). v̂'yı bul.Hocanın slayt örneği

Önce kontrol: v birim vektör mü?

‖v‖ = √(1² + (−3)² + 4² + 2²) = √30 ≠ 1

v̂ = v / ‖v‖ = (1/√30, −3/√30, 4/√30, 2/√30)

Tuzaklar

Negatif bir sayının karesi pozitiftir: (−3)² = 9.
İç çarpım negatif olabilir. Cosθ'daki eksi işaretini koru.
Uzaklık ‖u‖ − ‖v‖ değildir. Önce vektörleri çıkar.
Vektör birim vektör değilse "hayır" deyip bırakma. Her zaman v̂'yı ver.
2024–25 kâğıdında "identity vector" yazıyor. Kastedilen birim vektördür (unit vector).
"When does the dot product give zero?" (İç çarpım ne zaman sıfır olur?) Cevap: vektörler dik (ortogonal) olduğunda, çünkü o zaman Cosθ = 0.

Slaytlar ℝ³'teki vektörler için vektörel çarpımı (cross product) da tanımlıyor (ilk satırında i, j, k olan 3×3 bir determinant; her iki vektöre de dik bir vektör verir ve ‖u×v‖ = ‖u‖·‖v‖·Sinθ). Hiçbir eski sınavda ve bu yılın tekrar kâğıdında yok, yani en düşük önceliğin.

Sen dene

u = (1, 0, −2), v = (3, 4, 0)

Cosθ'yı, d(u, v)'yi, û'yı ve A = (1, 2) ile B = (3, 5) arasındaki 3.norm uzaklığını bul.

Tam çözümü göster

u·v = 3 + 0 + 0 = 3

‖u‖ = √(1+0+4) = √5, ‖v‖ = √(9+16+0) = 5

Cosθ = 3 / (5√5)

d(u, v) = √((−2)² + (−4)² + (−2)²) = √24 = 2√6

‖u‖ = √5 ≠ 1 ⟹ û = (1/√5, 0, −2/√5)

3.norm: (|1−3|³ + |2−5|³)^1/3 = (8 + 27)^1/3 = ∛35

Bunu bakmadan yapabiliyorum

4Hocanın gösterimiyle satır işlemleri

Yaklaşık 12 dakika

2. ve 3. haftalar. Bu bölümden sonraki her şey üç hamleden kurulur. Hoca bunlara elemanter satır işlemleri (elementary row operations) diyor; R₁, R₂, R₃ satırlardır.

1. İki satırın yerini değiştirR_i ↔ R_jSlaytında R_i → R_j şeklinde çiziyor.

2. Bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpkR_i → R_iPivotu 1 yapmak için kullanılır, örneğin 1/4R₃ → R₃.

3. Bir satırın bir katını başka bir satıra eklekR_i + R_j → R_jAsıl iş gören işlem. i. satır yalnızca kullanılır; j. satır yeniden yazılır.

k nasıl seçilir

Pivot, altında (ya da üstünde) çalıştığın köşegen elemanıdır. Bir elemanı 0 yapmak için:

k = − (yok etmek istediğin eleman) / (aynı sütundaki pivot)

Sonra aynı şeyi satırdaki her sayıya uygula; varsa noktalı çizgiden sonraki kısım da dahil.

Matrisi üst üçgen matrise getir.Hocanın 3. hafta slaytı

24−249−3−2−37

−2R₁ + R₂ → R₂pivot 2'nin altındaki 4'ü yok et: k = −4/2 = −2

24−2011−2−37

R₁ + R₃ → R₃pivot 2'nin altındaki −2'yi yok et: k = −(−2)/2 = 1

24−2011015

−R₂ + R₃ → R₃pivot 1'in altındaki 1'i yok et: k = −1/1 = −1

24−2011004

Köşegenin altı tamamen sıfır: bu bir üst üçgen matristir. Pivotlar 2, 1, 4.

Hoca bazen okun altına l₂₁ = 4 da yazıyor. Bu yalnızca yok edilen elemanın adıdır: 2. satır, 1. sütun, değeri 4. Bir etikettir, yeni bir adım değil.

Hesabı kenarda yap−2R₁ + R₂ için önce yardımcı satırı yaz: −2·(2 4 −2) = (−4 −8 4), sonra 2. satırı (4 9 −3) ekleyip (0 1 1) elde et. Bu derste kaybedilen puanların çoğu tam bu satırdaki işaret hatalarıdır.

Hocanın kullandığı terimler

Üst üçgen matris (upper triangle matrix): köşegenin altındaki tüm elemanlar 0. Alt üçgen (lower triangle): köşegenin üstündeki tüm elemanlar 0.
Satır eşelon formu (row echelon form, REF): sıfır satırları en altta ve her satırın sıfırdan farklı ilk elemanı, üstündeki satırınkinin sağında. Üst üçgen de bu merdiven biçimindedir. Hocanın tanımı her baş elemanın 1 olmasını da istiyor, ama 5. hafta slaytında pivotları 2, 1, 4 olan üçgene de satır eşelon formu diyor.
İndirgenmiş satır eşelon formu (reduced row echelon form, RREF): baş elemanlar 1'dir ve sütunlarında tek başlarınadır. Tek çözümü olan bir sistem için bu, birim matristir.
Gauss eliminasyonu üst üçgende durur. Gauss–Jordan birim matrise kadar devam eder.
Birim matris I (identity matrix): köşegende 1, diğer yerlerde 0. Transpoz A^T: satırlar sütun olur. Simetrik: A^T = A. İz (trace): köşegenin toplamı.

Eliminasyon matrisi

Bu fikir sana bir kez, 8. bölümde lazım olacak. Birim matrise tek bir satır işlemi uygularsan o işlemin eliminasyon matrisi E'yi elde edersin. Tersi, o tek sayının işareti değiştirilmiş aynı matristir.

İşlem: −2R₁ + R₂ → R₂

E =100−210001 E⁻¹ =100210001

Çarpan −2, sıfırın oluşturulduğu yerde, yani 2. satır 1. sütunda durur. Terste +2 olur.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

5Gauss ve Gauss–Jordan eliminasyonu

Yaklaşık 30 dakika

5. hafta. A·X = B sistemini eliminasyonla çözmek. Hocanın cümlesi: ana fikir, genişletilmiş matristen bir üst üçgen matris ya da birim matris elde etmektir.

Genişletilmiş matrisi (augmented matrix) yaz: [A ⋮ B]. Yani katsayılar, noktalı bir çizgi, sağ taraf. Eksik bir değişkenin katsayısı 0'dır.
1. sütun: ilk pivotun altını sıfırla.
2. sütun: ikinci pivotun altını sıfırla. (Hoca slaytında pivotun üstündeki elemanı da aynı okta temizliyor.)
Gauss eliminasyonu burada biter. Satırları yeniden denklem olarak yaz ve en alttakinden yukarı doğru çöz.
Gauss–Jordan devam eder: her pivotu kR_i → R_i ile 1 yap, pivotların üstünde kalanları temizle; sol taraf I olana kadar. Son sütun cevaptır.

Sistemi eliminasyon yöntemiyle çöz.Hocanın 5. hafta slaytı; aynı işlemler, aynı sırayla

2x + 4y − 2z = 2

4x + 9y − 3z = 8

−2x − 3y + 7z = 10

Gauss eliminasyonu

24−2249−38−2−3710

−2R₁ + R₂ → R₂

24−220114−2−3710

R₁ + R₃ → R₃

24−22011401512

−4R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃2. sütun: pivot 1'in üstünü ve altını tek okta temizliyor

20−6−1401140048

Satır eşelon formu. Satırları alttan başlayarak denklem olarak oku:

4z = 8 ⟹ z = 2

y + z = 4 ⟹ y = 2

2x − 6z = −14 ⟹ x = −1

x = −1, y = 2, z = 2

Devam edelim: Gauss–Jordan

20−6−1401140048

1/2R₁ → R₁1/4R₃ → R₃pivotları 1 yap

10−3−701140012

−R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁3. sütun: pivotun üstünü temizle

100−101020012

İndirgenmiş satır eşelon formu. Sol taraf I olduğu için son sütun çözümdür.

x = −1, y = 2, z = 2

İki yarı tek ve kesintisiz bir hesaptır. Soru Gauss–Jordan diyorsa hepsini yazarsın ve geriye doğru yerine koyma yapmazsın.

Tuzaklar

İşlem tüm satıra uygulanır, noktalı çizgiden sonraki sayı da dahil.
Üçgende durup sonunda geriye doğru yerine koyma yapılan "Gauss–Jordan", Gauss–Jordan değil Gauss'tur. Birim matrise ulaş.
Tek okta iki işlem varsa, ikisi de oktan önceki satırları kullanmalıdır.
Sonunda kontrol et: x, y, z'yi asıl denklemlerden birine koy. On saniye sürer.

Sen dene: Gauss–Jordan ile çöz

x + 2y − z = 2

2x + 5y + z = 15

−x + y + 2z = 7

Tam çözümü göster

12−1225115−1127

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃

12−12013110319

−2R₂ + R₁ → R₁−3R₂ + R₃ → R₃

10−7−200131100−8−24

−1/8R₃ → R₃

10−7−20013110013

−3R₃ + R₂ → R₂7R₃ + R₁ → R₁

100101020013

x = 1, y = 2, z = 3

2. denklemde kontrol: 2·1 + 5·2 + 3 = 15.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

6Bir matrisin tersi

Yaklaşık 25 dakika

4. hafta. A⁻¹, A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I eşitliğini sağlayan matristir. Bir matrisin en fazla bir tersi vardır.

Hocanın notlarından üç kısa bilgi

2×2 formülü

A =abcd⟹ A⁻¹ = 1/(ad − bc) ·d−b−ca

a ile d'nin yerini değiştir, b ve c'nin işaretini değiştir, ad − bc'ye böl. Yalnızca ad − bc ≠ 0 ise vardır. Formül sadece 2×2 içindir.

Köşegen matrisHer köşegen elemanını ters çevir: köşegen 8, 7 ise ters matrisin köşegeni 1/8, 1/7.

Çarpım(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹Sıra tersine döner.

Slayt örneği: tersini bul.

A =2−143ad − bc = 2·3 − (−1)·4 = 10

A⁻¹ = 1/10 ·31−42=3/101/10−2/51/5

Hocanın puanladığı yöntem: [A ⋮ I] → [I ⋮ A⁻¹]

A'yı, noktalı bir çizgiyi ve yanına birim matrisi yaz. Bu, genişletilmiş matristir: [A ⋮ I].
Üzerinde Gauss–Jordan uygula. Her işlem satırdaki altı sayının hepsine uygulanır.
Sol yarı I olduğunda sağ yarı A⁻¹ olur. Onu cevap olarak ayrıca yaz.

A⁻¹ matrisini Gauss eliminasyon yöntemiyle bul.Hocanın 4. hafta slaytı bu matrisi çözümsüz veriyor. Burada onun işlemleriyle çözüldü.

A =121−1−11013

121100−1−11010013001

R₁ + R₂ → R₂1. sütun: yalnızca −1'in yok edilmesi gerekiyor

121100012110013001

−2R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃2. sütun: pivotun üstü ve altı

10−3−1−20012110001−1−11

−2R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁3. sütun: pivotun üstü

100−4−5301033−2001−1−11

A⁻¹ =−4−5333−2−1−11

30 saniyelik kontrolA'nın ilk satırını A⁻¹'in sütunlarıyla çarp. 1, 0, 0 elde etmelisin. Burada: (1)(−4) + (2)(3) + (1)(−1) = 1, sonra (1)(−5) + (2)(3) + (1)(−1) = 0, sonra (1)(3) + (2)(−2) + (1)(1) = 0.

Bir pivot 1 değilse, hocanın 6. haftada 1/5R₂ → R₂ ile yaptığı gibi o satırı en sonda böl. Cevapta kesir çıkması normaldir: bu yılın tekrar kâğıdındaki ters matrislerin paydaları 7 ve 16 gibi sayılar.

Tuzaklar

Sağ yarıyı unutmak. Her işlem üç değil altı sayıyı değiştirir.
Üçgende durmak. Sol yarı, köşegeninde 1'ler olan tam I olmalı.
3×3'te kofaktör ya da determinant yöntemini kullanmak. Hocanın yöntemi değil.

Sen dene: tersini bul

A =101213113

Tam çözümü göster

101100213010113001

−2R₁ + R₂ → R₂−R₁ + R₃ → R₃

101100011−210012−101

−R₂ + R₃ → R₃

101100011−2100011−11

−R₃ + R₂ → R₂−R₃ + R₁ → R₁

10001−1010−32−10011−11

A⁻¹ =01−1−32−11−11

Bunu bakmadan yapabiliyorum

7Ters matrisle sistem çözme

Yaklaşık 15 dakika

6. hafta. 2024–25 kâğıdında 40 puandı.

A·X = B ⟹ A⁻¹·A·X = A⁻¹·B ⟹ X = A⁻¹·B

Adım 1. A'yı (katsayılar matrisi) yaz ve A⁻¹ matrisini [A ⋮ I] ile, tam 6. bölümdeki gibi bul.
Adım 2. Çarp: X = A⁻¹·B. Her cevap, A⁻¹ matrisinin bir satırı çarpı B sütunudur.

Sistemi ters matrisle çöz.Hocanın 6. hafta slaytı

x − 2y = 10

2x + y = 8

Adım 1 (Step 1)

A =1−221⟹ A⁻¹ = ?

1−2102101

−2R₁ + R₂ → R₂

1−21005−21

1/5R₂ → R₂

1−21001−2/51/5

2R₂ + R₁ → R₁

101/52/501−2/51/5

A⁻¹ =1/52/5−2/51/5

Adım 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B ⟹xy=1/52/5−2/51/5108

x = (1/5)(10) + (2/5)(8) = 10/5 + 16/5 = 26/5

y = (−2/5)(10) + (1/5)(8) = −20/5 + 8/5 = −12/5

x = 26/5, y = −12/5

Sistemi ters matrisle çöz.3×3 versiyonu

x + 2y + z = 3

−x − y + z = 2

y + 3z = 8

Adım 1 (Step 1)

A =121−1−11013⟹A⁻¹ =−4−5333−2−1−11

Bu, 6. bölümdeki matristir. Sınavda [A ⋮ I] işlemlerinin tamamı buraya yazılır.

Adım 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B =−4−5333−2−1−11328

x = (−4)(3) + (−5)(2) + (3)(8) = −12 − 10 + 24 = 2

y = (3)(3) + (3)(2) + (−2)(8) = 9 + 6 − 16 = −1

z = (−1)(3) + (−1)(2) + (1)(8) = −3 − 2 + 8 = 3

x = 2, y = −1, z = 3

Tuzaklar

Sıra önemli: A⁻¹·B olur, asla B·A⁻¹ değil.
Burada sistemi [A ⋮ B] üzerinde Gauss–Jordan ile çözme. Soru önce ters matrisin gösterilmesini, sonra çarpmayı istiyor.
Sınav sistemi zaten matris · sütun = sütun biçiminde verdiğinde, A o matristir ve B sağdaki sütundur.

Sen dene: ters matrisle çöz

x + 2y + z = 6

−x − y + z = −5

y + z = 2

Bu soru hocanın 6. hafta slaytında çözümsüz duruyor.

Tam çözümü göster

Adım 1 (Step 1)

121100−1−11010011001

R₁ + R₂ → R₂

121100012110011001

−2R₂ + R₁ → R₁−R₂ + R₃ → R₃

10−3−1−2001211000−1−1−11

−R₃ → R₃

10−3−1−2001211000111−1

−2R₃ + R₂ → R₂3R₃ + R₁ → R₁

10021−3010−1−1200111−1

A⁻¹ =21−3−1−1211−1

Adım 2 (Step 2)

X = A⁻¹·B =21−3−1−1211−16−52

x = 12 − 5 − 6 = 1

y = −6 + 5 + 4 = 3

z = 6 − 5 − 2 = −1

x = 1, y = 3, z = −1

Bunu bakmadan yapabiliyorum

8Faktorizasyon: A = L·U

Yaklaşık 20 dakika

7. hafta slaytları (dosyanın başlığı "Hafta 7"). Faktorizasyon, A'yı iki üçgen matrisin çarpımı olarak yazmaktır:

A = L·U

U, eliminasyondan elde ettiğin üst üçgendir.
L, köşegeninde 1'ler olan bir alt üçgendir. Köşegenin altında, kullandığın çarpanları işareti değiştirilmiş olarak saklar.

"Easy way", yani kolay yol (hocanın kendi verdiği ad)

A'yı yalnızca kR_i + R_j → R_j işlemini kullanarak ve aşağı doğru çalışarak üst üçgene indir. Satırları bir sayıyla çarpmak yok, pivotların üstünü temizlemek yok, sağ taraf yok. Sonuç U'dur.
L'yi birim matris olarak başlat. Her kR_i + R_j → R_j işlemi için L'nin j. satır, i. sütununa −k koy.
A = L·U eşitliğini iki matrisle birlikte yaz.

A = L·U = ? (faktorizasyonu bul)Hocanın 7. hafta slaytı, EASY WAY etiketli örnek

A =1232673910

1232673910

−2R₁ + R₂ → R₂−3R₁ + R₃ → R₃

123021031

−3/2R₂ + R₃ → R₃

12302100−1/2

= U

Kullanılan çarpanlar: −2, −3, −3/2. İşaretlerini değiştir ve sıfırların oluşturulduğu yerlere koy:

L =10021033/21

A =1232673910=10021033/2112302100−1/2

İşaret değiştirme, üç örnekle −2R₁ + R₂ → R₂ işlemi, L'nin 2. satır 1. sütununa +2 koyar R₁ + R₃ → R₃ işlemi, 3. satır 1. sütuna −1 koyar 4/5R₂ + R₃ → R₃ işlemi, 3. satır 2. sütuna −4/5 koyar Bir konum zaten 0 olduğu için işlem gerektirmediyse, L'de orada 0 olur.

Neden işe yarıyor: uzun yol

Hoca önce bunu gösteriyor, o yüzden tanı. Her işlem bir eliminasyon matrisidir (4. bölüm). Art arda uygulanınca U elde edilir; karşı tarafa geçirince tersleri alınır, işaret değişimi de buradan gelir.

A = L·U = ?Hocanın 7. hafta slaytı. Slaytta basılı L ve U'da yazım hataları var; doğruları bunlar.

A =1232−14−121

Adım 1 (Step 1)

1232−14−121

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃E₁ ve E₂

1230−5−2044

4/5R₂ + R₃ → R₃E₃

1230−5−20012/5

= U

E₁ =100−210001E₂ =100010101E₃ =10001004/51

Tersleri: tek çarpanın işaretini değiştir.

E₁⁻¹ =100210001E₂⁻¹ =100010−101E₃⁻¹ =1000100−4/51

Adım 2 (Step 2)

E₃·E₂·E₁·A = U

A = (E₁⁻¹·E₂⁻¹·E₃⁻¹)·U ⟹ A = L·U

A =100210−1−4/511230−5−20012/5= L·U

Devam etmeden önce kontrol etL'nin 2. satırını U ile, L'nin 3. satırını U ile çarp. A'nın 2. ve 3. satırlarını elde etmelisin. Etmiyorsan L'deki bir işaret yanlıştır.

Tuzaklar

Çarpanı işaretini değiştirmeden L'ye koymak. Bir numaralı hata budur.
Pivotu 1 yapmak için U'nun bir satırını bölmek. L·U'da pivotlar olduğu gibi kalır (2, −5, 12/5 …).
Genişletilmiş matris üzerinde çalışmak. Yalnızca A'yı çarpanlarına ayır; B sonra devreye girer.

Sen dene: A = L·U

A =211433−214

Tam çözümü göster

211433−214

−2R₁ + R₂ → R₂R₁ + R₃ → R₃

211011025

−2R₂ + R₃ → R₃

211011003

= U

L =100210−121

A =100210−121211011003

Bunu bakmadan yapabiliyorum

9Faktorizasyonla sistem çözme

Yaklaşık 20 dakika

7. hafta. Sınav kâğıtlarında bu "find the solution by using factorization" (çözümü faktorizasyon kullanarak bul) diye geçiyor ve 30–40 puan değerinde.

Adım 1. Katsayılar matrisini çarpanlarına ayır: A = L·U, tam 8. bölümdeki gibi.
Adım 2. A·X = B ⟹ L·U·X = B yaz. U·X çarpımına bir ad ver: (a, b, c) sütunu.
L·(a, b, c) = B sistemini en üst satırdan aşağı doğru çöz. İlk satır a'yı hemen verir.
U·X = (a, b, c) sistemini en alt satırdan yukarı doğru çöz. Son satır z'yi hemen verir.

Sistemi faktorizasyonla çöz.Hocanın 7. hafta slaytı. Slaytta işlem etiketleri ve U'nun bir satırı yanlış yazılmış; buradaki sayılar doğru olanlardır ve hocanın nihai cevabını verir.

2x + 2y + 2z = 12

4x + 7y + 7z = 24

6x + 18y + 22z = 12

Adım 1 (Step 1)

22247761822

−2R₁ + R₂ → R₂−3R₁ + R₃ → R₃

22203301216

−4R₂ + R₃ → R₃

222033004

= U

L =100210341

Adım 2 (Step 2)

A·X = B ⟹ L·U·X = B

100210341222033004xyz=122412

U·X'e (a, b, c) sütunu de. Önce L·(a, b, c) = B sistemini çöz:

100210341abc=122412

a = 12

2a + b = 24 ⟹ 24 + b = 24 ⟹ b = 0

3a + 4b + c = 12 ⟹ 36 + 0 + c = 12 ⟹ c = −24

Sonra U·X = (a, b, c) sistemini çöz:

222033004xyz=120−24

4z = −24 ⟹ z = −6

3y + 3z = 0 ⟹ 3y − 18 = 0 ⟹ y = 6

2x + 2y + 2z = 12 ⟹ 2x + 12 − 12 = 12 ⟹ x = 6

x = 6, y = 6, z = −6

4×4 bir sistem

Daha eski bir sınavda burada 30 puanlık 4×4 bir sistem vardı, hocanın slaytında da bir tane var. Yeni bir şey olmuyor, sadece işlem sayısı artıyor:

Altı eliminasyon, şu sırayla: 1. sütun (2., 3., 4. satırlar), 2. sütun (3., 4. satırlar), 3. sütun (4. satır).
L'nin köşegeninin altına altı sayı gelir.
Yardımcı sütun (a, b, c, d) olur; sonra dört bilinmeyeni alttan başlayarak çözersin.

Tuzaklar

[A ⋮ B] üzerinde Gauss eliminasyonuyla çözmek ve L'yi hiç yazmamak. Cevap doğru, yöntem yanlış olur.
İkinci üçgen sistemde B'yi kullanmak. U·X'in sağ tarafı B değil, (a, b, c)'dir.
L için yukarıdan aşağı, U için aşağıdan yukarı. Karıştırırsan çözülmez gibi görünür.

Sen dene: faktorizasyonla çöz

2x + y + z = 3

4x + 3y + 3z = 7

−2x + y + 4z = −4

8. bölümdeki "Sen dene" ile aynı matris, yani Adım 1 zaten hazır.

Tam çözümü göster

Adım 1 (Step 1)

L =100210−121U =211011003

Adım 2 (Step 2)

100210−121abc=37−4

a = 3

2a + b = 7 ⟹ b = 1

−a + 2b + c = −4 ⟹ −3 + 2 + c = −4 ⟹ c = −3

211011003xyz=31−3

3z = −3 ⟹ z = −1

y + z = 1 ⟹ y = 2

2x + y + z = 3 ⟹ 2x + 1 = 3 ⟹ x = 1

x = 1, y = 2, z = −1

Bunu bakmadan yapabiliyorum

10Faktorizasyon: A = L·D·U

Yaklaşık 10 dakika

Eldeki slaytlarda gösterilmiyorA = L·D·U bu yılın tekrar kâğıdında (9. soru), 2022–23 sınavında 40 puanla ve 2025–26 sınavında soruldu, ama eldeki dosyalardaki hiçbir slayt bir tane çözmüyor. Aşağıdaki standart yöntemdir. Sonuç hocanınkinden farklı çıkamaz, çünkü bir matrisin bu türden yalnızca tek bir L, D, U üçlüsü vardır. Farklı olabilecek tek şey, hocanın işlemleri kâğıda diziş biçimidir.

L·D·U, bir adım fazlasıyla L·U'dur: pivotlar U'dan çıkarılıp köşegen bir D matrisine alınır.

A = L·U ayrışımını 8. bölümdeki gibi bul. L hazırdır ve değişmez.
D, U'nun pivotlarından (köşegen elemanlarından) oluşan köşegen matristir.
Yeni U: eski U'nun her satırını kendi pivotuna böl. Köşegeni 1, 1, 1 olur.
A = L·D·U eşitliğini üç matrisle birlikte yaz.

A = L·D·U = ?Hocanın slaytındaki EASY WAY matrisi, devamı

A =1232673910

8. bölümden:

L =10021033/21U =12302100−1/2

U'nun pivotları: 1, 2, −1/2. 2. satır 2'ye, 3. satır −1/2'ye bölündü:

D =10002000−1/2U =123011/2001

A =10021033/2110002000−1/2123011/2001= L·D·U

Tuzaklar

Negatif ya da kesirli bir pivota bölmek: −1/2 bölü −1/2 eşittir 1, 1 bölü 2 eşittir 1/2. Yavaş git.
L'nin de yeni U'nun da köşegeninde 1'ler vardır. D'de köşegen dışında her yer sıfırdır.
Soru "A = LU and A = LDU" diyorsa iki sonucu da yaz.

Sen dene: A = L·D·U

A =211433−214

L ve U'yu 8. bölümde bulmuştun.

Tam çözümü göster

L =100210−121U =211011003

D =200010003yeni U =11/21/2011001

A =100210−12120001000311/21/2011001

Bunu bakmadan yapabiliyorum

11Pivot sıfır olduğunda

Yaklaşık 5 dakika

Eldeki slaytlarda gösterilmiyorKarşına çıkıyor: bu yılın tekrar kâğıdındaki 9b sorusu 0 ile başlıyor, 2024–25 sınavında da faktorizasyon sorusunun ilk denkleminde x yoktu. Eldeki dosyalardaki hiçbir slayt hocanın bu durumda ne yazdığını göstermiyor. Aşağıdaki, yalnızca hocanın kendi 1 numaralı satır işlemiyle kurulmuş standart çözümdür.

0'ı pivot olarak kullanamazsın, çünkü k = −eleman/pivot sıfıra bölme olurdu. Bu yüzden önce satırların yerini değiştir, sonra yeniden sıralanmış matrisi her zamanki gibi çarpanlarına ayır.

0 olan satırı, o sütunda sıfırdan farklı bir sayısı olan daha alttaki bir satırla değiştir: R_i ↔ R_j. Seçme şansın varsa pivotun altında 0 bırakan değişimi seç; bir işlem kazandırır.
Yeni matrisi L·U olarak çarpanlarına ayır (isteniyorsa D ile birlikte).
Bir sistemde bu yalnızca denklemleri farklı sırayla yazmaktır; bu yüzden B'nin aynı elemanlarının da yerini değiştir.
Kâğıda sözle de belirt: "R₁ ↔ R₂ işleminden sonra, A = L·U".

A = L·U = ?Yeni örnek

012121257

R₁ ↔ R₂pivot konumunda 0 var; sıfırdan farklı bir sayıyla başlayan bir satırı yukarı al

121012257

−2R₁ + R₃ → R₃2. satırın 1. sütununda zaten 0 var: işlem yok, yani L'de oraya 0 gelir

121012015

−R₂ + R₃ → R₃

121012003

= U

L =100010211

L·U, asıl A'yı değil, satır değişiminden sonraki matrisi verir.

Aynı şey Gauss–Jordan'da ya da [A ⋮ I]'da da olabilir: pivot konumunda 0 varsa daha alttaki bir satırla değiştir ve devam et.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

12Özet, slayt hataları, sınav anı

Yaklaşık 8 dakika

Tek ekranlık özet

Vektörler u·v = u₁v₁ + … + u_nv_n ‖u‖ = √(u₁² + … + u_n²) Cosθ = u·v / (‖u‖·‖v‖) d(u, v) = √((u₁−v₁)² + … ) dik ⟺ u·v = 0 û = u/‖u‖

Satır işlemikR_i + R_j → R_jk = −eleman/pivot. j. satır değişir, i. satır değişmez.

Gauss[A ⋮ B] üst üçgene, sonra alttan yukarı doğru denklemler.

Gauss–Jordan[A ⋮ B]'den [I ⋮ çözüm]'e.

Ters matris[A ⋮ I]'dan [I ⋮ A⁻¹]'e. Yalnızca 2×2 için: 1/(ad − bc) çarpı (d, −b; −c, a).

Ters matris yöntemiAdım 1: A⁻¹. Adım 2: X = A⁻¹·B.

L·UU'yu elde etmek için aşağı doğru yok et. L = birim matris artı işareti değiştirilmiş çarpanlar.

Faktorizasyonla çözümAdım 1: L ve U. Adım 2: L·(a, b, c) = B yukarıdan, sonra U·X = (a, b, c) aşağıdan.

L·D·UD = U'nun pivotları. Yeni U = U'nun her satırı bölü kendi pivotu.

Sıfır pivotÖnce satırların yerini değiştir (B'nin aynı elemanlarının da).

Slaytlardaki hatalar

PDF'leri açtığında bir şey bu rehberle uyuşmuyorsa, büyük olasılıkla bunlardan biridir. Bunlar slaytlardaki yazım hatalarıdır; her örnek yeniden hesaplanarak kontrol edildi.

1. hafta, Cosθ örneği: iki vektör de (1, 3) olarak basılmış, ama 6/10 sonucu u = (1, 3), v = (3, 1) içindir.
4. hafta, eliminasyon matrisinin tersi: matrisler köşegende 1 olması gereken yerde 0 ile basılmış ve ikinci ters, birincinin tekrarı.
5. hafta, Gauss–Jordan: (1 0 −3 7) satırı (1 0 −3 −7) olmalı.
7. hafta, ilk L·U örneği: son L'de −1 eksik, son U'da fazladan bir 2 var. Doğruları 8. bölümde.
7. hafta, ikinci L·U örneği (EASY WAY'den önceki): basılı cevap ilk örnekten kopyalanmış ve o matris için doğru değil.
7. hafta, sistem örneği: üç işlem etiketi yanlış yazılmış ve U'nun ilk satırı 2 2 2 yerine 1 2 2 basılmış.
7. hafta, 4×4 sistem: slayttaki ikinci denklem −x − 3y − z − 4t = 0'dır ve hocanın basılı cevabını (28, −6, −2, −2) verir. Eski tekrar kâğıdında +3x₂ yazıyor; bu bir yazım hatası.

Sınav anında

Önce vektör sorusunu yap. Hızlıdır ve seni rahatlatır.
Her 40 puanlık sorudan önce, sorudaki yöntem kelimesinin altını çiz.
Matrisi dikkatle kopyala. İlk satırdaki tek bir yanlış işaret, sonrasındaki her şeyi bozar.
Kontrol için iki dakika bırak: bulduğun x, y, z'yi asıl denklemlerden birine koy.

Bunu bakmadan yapabiliyorum

1Sınav nasıl görünüyor

2Hocanın yöntemi: yedi kural

3Vektörler

p-norm uzaklığı

4Hocanın gösterimiyle satır işlemleri

k nasıl seçilir

Hocanın kullandığı terimler

Eliminasyon matrisi

5Gauss ve Gauss–Jordan eliminasyonu

6Bir matrisin tersi

Hocanın notlarından üç kısa bilgi

Hocanın puanladığı yöntem: [A ⋮ I] → [I ⋮ A−1]

7Ters matrisle sistem çözme

8Faktorizasyon: A = L·U

"Easy way", yani kolay yol (hocanın kendi verdiği ad)

Neden işe yarıyor: uzun yol

9Faktorizasyonla sistem çözme

4×4 bir sistem

10Faktorizasyon: A = L·D·U

11Pivot sıfır olduğunda

12Özet, slayt hataları, sınav anı

Tek ekranlık özet

Slaytlardaki hatalar

Sınav anında

Hocanın puanladığı yöntem: [A ⋮ I] → [I ⋮ A⁻¹]